Biaffine Inzidenzebenen, orthogonale lateinische Quadrate und 2-Assoziationsschemata

✍ Scribed by Günter Pickert

• Publisher: Springer
• Year: 1978
• Tongue: English
• Weight: 245 KB
• Volume: 7
• Category: Article
• ISSN: 0046-5755
• DOI: 10.1007/bf00151526

✦ Synopsis

BIAFFINE INZIDENZEBENEN, ORTHOGONALE LATEINISCHE QUADRATE 2-ASSOZIATIONSS CHEMATA UND Oehler [1] hat als biaffine Inzidenzebene (kurz: BE) die Inzidenzgebilde (~, ~, I) (~ Menge der Punkte, ~ Menge der Geraden, I ~ ~ × ~ Inzidenzrelation) mit den folgenden Eigenschaften bezeichnet: (A1) Zu P, Q E q3 mit P # Q gibt es genau ein g ~ ~ mit P, Q I g. (A2) Es gibt A, B, C ~ q3, so daft A, B, C I gfi~r kein g ~ eb gilt. (A3) Die Menge der Anzahlen I{h I P I h I1 g}l (P ~ q3, g ~ ~b) ist {1, 2}. Dabei bedeutet h]lg (h parallel g) wie fiblich: h # g =~ Es gibt kein P ~ ~ mit P I g, h. lm folgenden werden nur endliche BE betrachtet. Wie bei Oehler sei unter der Ordnung einer solchen BE das Maximum N der [(P [ P I g}l (g ~ ~) verstanden. Jede Gerade der BE inzidiert dann entweder mit N oder mit N -1 Punkten ([1], (7)) und wird demgem~iB als N-Gerade bzw. (N-1)-Gerade bezeichnet. Jede endliche BE einer Ordnung /> 4, die nicht durch Weglassen eines Punktes aus einer affinen Ebene entsteht, hat nun die folgende Eigenschaft ([1], (28)u. S~itze 13, 14): (1) Dureh jeden Punkt geht genau eine N-Gerade. W~ihrend Oehler die BE mit (1) nut fiir N i> 6 einheitlich behandelt und ftir N ~ {4, 5} ein Computer-Programm einsetzL sollen hier die BE mit (1) und N/> 3 einheitlich mittels orthogonaler lateinischer Quadrate beschrieben werden, wodurch man die Oehlerschen Ergebnisse leichter erh~tlt; die Hinzunahme des Falles N = 3 vereinfacht die Herleitung allerdings nur unwesentlich, da (1) bei N = 3 nur im Fall I~l = 6 gilt ([1], S. 434). Nach [1] (Satz 10) gehen bei einer BE mit N/> 3 durch jeden Punkt h6chstens N + 1 Geraden. Im folgenden wird auBer N/> 3 stets (1) vorausgesetzt. Daraus folgt (2)

Jede (N -1)-Gerade g sehneidet jede N-Gerade h.

Denn ist P I g und nicht P I h, so gehen durch P genau N zu h nichtparallele Geraden; nach (1) sind diese s~imtlich (N -1)-Geraden, und da dutch P nur eine weitere, also zu h parallele Gerade gehen kann, ist diese nach (1) N-Gerade, die (N -1)-Gerade g daher nicht parallel zu h.