BERECHENBARE REELLE FTJNKTIONENFOLGEN von J ~W E N HAUUK in Berlin (DDR) In [4] haben wir die Begriffe ,,konstruktive Darstellung D reeller Zahlen" und ,,D-berechenbare reelle Funktion" eingefuhrt. I n der vorliegenden Arbeit wollen wir uns mit D-berechenbaren reellen Funktionenfolgen beschiiftigen. Unter einer Darstellung D reeller Zahlen verstehen wir eine eindeutige Abbildung aus der Menge (3 der einstelligen ganzzahligen Funktionen y auf die Menge R der reellen Zahlen. Eine Darstellung D ist berechenbar in (a, b), falls mittels eines Algorithmus a m einer D-Darstellung eines x E (a, b) rationale Approximationen beliebiger Genauigkeit konstruiert werden konnen; D ist &chidbar in (a, b), falls von einem beliebigen Anfang einer Funktion y(O), y(l), . . . , y(s) entschieden werden kann, ob er zu einer D-Darstellung ekes z E (a, b) fortsetzbar ist. Eine Darstellung nennen wir konstruktiv in (a, b), falls sie in (a, b) berechenbar und entscheidbar ist. Kettenbriiche, p-adische Darstellungen und die in der Konstruktiven Analysis besonders wichtige Darstellung Dl(y) = a =df lay(n) \* lO-nI 5 10-n fur jedes n sind Beispiele konstrnktiver Derstellungen. Im 1. Abschnitt werden h h e n b s r e Konvergenz, berechenbare Stetigkeit und berechenbare Differenzierbarkeit behandelt. Im 2. Abschnitt wird eine induktive Charakterisierung der berechenbaren Polynomfolgen und der dazugehiirigen rekursiven Funktionale (Polynale) gegeben. Jede in (a, b) D-berechenbare Funktion ist Grenzfunktion einer berechenbar gleichmiiBig konvergenten berechenbaren Polynomfolge (Satz von WEIERSTRASS). Daraus folgt, daS zur Approximation D1-berechenbarer reeller Funktionen bereib rekursive Polynale geniigen. Im 3. und 4. Abschnitt werden spezielle Polynomfolgen (Potenz-und FoumR-Reihen) untersucht. Im Mittelpunkt steht dsbei die ftbertragung der Sgtze von TAYLOR und DIRICHLET in die Konstruktive Analysis. 1. Bereehenbare Konvergenz, berechenbare Stetigkeit und bemehenbare Dffferenzierbarkeit Es sei N die Menge der natiirlichen Zahlen, Q-der Definitionsbereich v m r und 9 , = d f ( y I es gibt ein x E I mit D(y) = x}.
Definition 1. Eine Funktionenfolge f(nl, . . ., nk, xl, . . ., 5,) ist in Il x \* \* \* x I , D-berechenbar, fa& es ein partiell rekuraives Funktional r(yl, . . . , yr) (nl, . . . , nk, m) mit %11 x \* = \* x %I, x Nk+' Sr gibt, 80 daB fiir jedea xl E I , , . . ., X, E I,, jedes yl,. . ., y, und jedes n,, . . ., nk gilt: wobei T (nl, . . . , n k , m) fur jedes m. W i r sagen hierfiir auch: das Funktional l ' approximiert f(nl, . . . , xl, . . .) in I, x x I,. wenn o ( y l ) = 211 . \* 9 W r r ) = xr, 80 D1(r(yl, \* yr) n,... nJ = f(n,, \* -\* 8 2 1 -\* a);