Bemerkungen zu einem Funktional von M. Schiffer und N. S. Hawley in der Theorie der konformen Abbildungen
✍ Scribed by Bodo Dittmar
- Publisher
- John Wiley and Sons
- Year
- 1980
- Tongue
- English
- Weight
- 860 KB
- Volume
- 97
- Category
- Article
- ISSN
- 0025-584X
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✦ Synopsis
Bemerkungen zu einem Funktional von M. SCHIFFER und N. S. HAWLEY in der Theorie der konformen Abbildungen
Von BODO DITTMAR in Halle (Saale) (Eingegangen am 16. 1. 1979) 8 1. Einleitung M. SCHIFFER und N. S. HAWLEY gaben 1962 [19, I] eine Charakterisierung der schlichten konformen Vollkreisabbildung f ( x ) eines n-fach zusammenhangenden Gebietes Fb als Losung eines Extremalproblemes an. I n dem von geschlossenen analytischen JoRDANkurven i= 1, 3 , . . . , n, Q= u Ei, der Krummung x ( s ) berandeten Gebiet 55 3-betrachten M. SCHIFFER und N. S. HAWLEY das Fanktional n i = l a & cri Die Funktion uo=ln lf'(x)l liefert als einzige das Minimum von (1) in Q = {u: ZL harmonisch in 59, f J (vu)2dxdy<w, u€L2(6), e'cL(Q), Juds=O) [19, I]. IV81irend in [ 5 ] eine Ubertragung des Funktionals (1) auf quasikonforme Abbildungen erfolgte, sollen jetzt einige Anwendungen von (1) in der Theorie der konformen Abbildungen gegeben werden. I n 3 2 wird ein neuer Konvergenzbeweis des auf P. KOEBE [Ill, [I21 zuruckgehenden iterierenden Verfahrens zur Bestinimung der konformen Vollkreisabbildung fur ein z weifach zusaminenhangendes Gebiet angegeben. Dabei mird unter Verwendung des Funktionals (1) im Prinzip nach einem von H. GR~TZSCH in [7], [S] am Beispiel verschiedener Schlitzabbildungen ausgefuhrten Gedanken verfahren. Mit (1) und einer allgemeinen Ungleichung fur die bekannte Punktionenklasse X gelingt es nachzuweisen, daf3 die durch das iterierende Verfahren definierte Folge von Funktionalwerten monoton abnimmt. Diese allgemeine Ungleichung fur die Funktionen aus 8 kann zuruckgefuhrt werden auf die Koeffizientenungleichung von N. A. LEBEDEV und I. M. MILIN [14, 173, die schon in zahlreichen Untersuchungen von D. AHARONOV, I . E. RASILEVIE, P. L. DUREN, L. P. IL'INA, Z. NEHARI, J. ~LADKOWSKA u. a. verwendet wurde. Nun kann rnjt einem naeh einer Idee von L. BIEBERBACH bewiesenen GleichmaBigkeitssatz der Konvergenzbeweis in bekannter Weise [B, V], [7], [S] erfolgen. SchlieBlich wird im § 2 noch auf Konvergenzbeweise des KoEBEschen iterierenden Verfahrens fur iD 0