Bemerkungen zu den Ring- und Strahlklasseneinteilungen in quadratischen Zahlkörpern. Erhard Schmidt zum 75. Geburtstag.
✍ Scribed by Helmut Hasse
- Publisher
- John Wiley and Sons
- Year
- 1950
- Tongue
- English
- Weight
- 423 KB
- Volume
- 4
- Category
- Article
- ISSN
- 0025-584X
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✦ Synopsis
I n seiner demnachst erscheirienden Dissertation beriotigt C. M E Y E R ~) a]s
Grundlage fiir den Rahmen der ganzen, breit angelegten Untersuchung einige elementare, rein-arithmetische Tatsachen uber Ringund Strahlklasenein. teilungen in einein quadratischen Zahlkorper Q, uuf die dann auch bei der Einze]. durchf iihrung der analytischen Rechnungen wiederholt zuriickzugreifen ist. Diese Tatsachen miigen teils bekannt sein, teils f u r den Kenner der klassenkorpertheoretischeri Begriffsbildungen auf der Hand liegen. Zur Erleichterung der Lekture der Meyerschen Dissertation, in'der das Schwergewicht auf der geschlosse.
nen Summation dir 'L-Reihen L(1Ix) zu Charakteren x in SZ liegt, erscheint in jedem Falle eine kurze, systernatische Darlegung jener rein-arithinetischell Tatsachen erwiinscht. $ie soll nachstehend gegeben werderi. Vorweg sei folgendes hemerlrt. Fiir die analytische Methode zur geschlossenen Summation der L-Reihen L(1Ix) besteht ein tiefgreifender Unterschiedder algebraisch gar nicht und arithmetisch nur unwesentlich (namlich durch die Unverzweigtheit der zugehorigen Klassenk6rper) hervortritt -, je nachdem der Charakter ;G ein absoluter Klassencharakter (im engeren Sinne) ist oder nicht., d. h. je nachdem sein Fuhrer f den endlichen Bestandteil fo == 1 hat oder nicht. Nun sind die absoluten Klassencharsktere nur ein Spezialfall der allgemeineren Ringkhssencharuktere mod f (im engeren Sinne), niimlich der Fall, wo der rationale Erkliirungsmodul f den endlichen Bestandteil fo = 1 h a t . Dieser Spezialfall ist zwar wieder arithmetisch (durch die Unverzweigtheit) nusgezeichnet, ist aber (worauf es hier wesentlich ankommt) algebraisch und analytisch nicht irgendwie hervorgehoben. Bei dieser Sachlage erscheint es im Ruhmen der Meyerschen Untersuchung zweckmiiil3ig, den Trennungsstrich nicht zwischen den absoluten Klassencharnkteren und den ubrigen Charnkteren zu ziehen 2), sondern vielrnehr I ) Uber die Klassenzahlbrrechnun~ derjenigen Zahlkorper, deren galoisscher Korper uber einem quadratischen Korprr abelsch ist. -Die Veriiffentlichung der Arbeit soll im J. reine angew. Math. erfolgen. 2, So geht man gewohnlich in der Koniplexen Multiplikation (analytisclicn Klassenkorperkonstruktion uber imagin~r-quadratischem Grundk6rper) vor, wo die Unterscheidung f = fo -= I oder l = 1 ebenfalls wesentlich ist ; die Theorie der Ringklsssenkiirper erschoint dam als ein fur das eigcntliclie Ziel entbehrliches Seitenstuck zur Theorie des absoluten Klassenkdrpers.