Beitrage zur Losung von linearen partiellen Differentialgleichungeii durch mehrfache Integraltransformstion
Von FRITZ RUHS in FreibergISa.
(Eingegangen am 3.9. 1974)
1. Die Methode der Integraltransformationen
Zur Losung von linearen partiellen Differentialgleichungen bedient man sich Itllufig einer Integraltransformation. Die einfachen Integraltransformationen CiLhren eine lineare partielle Differentialgleichung in n Verhnderlichen auf eine li tieare partielle Differentialgleichung in n -1 VeriLnderlichen zuriick (fiir n = 2 w*liiilt man eine gewohnliche Differentialgleichung, fiir n = 1 eine algebraische Gleichung). Je nach Art des vorgelegten Problems sind eine Reihe von Integral-Immsformationen entwickelt worden (vgl. z. B. [6], [7]). Statt dessen kann man o I)or auch eine mehrfache Integraltransformation anwenden. Hierunter versteht itiiin im klassischen Sinn eine lineare Abbildung.
( 1 ) vities gewissen Originalraums E in einen Bildrrtum F . Dabei ist l2 ein Gebiet im lin dimensional en euklidischen Raum R" und s= (s,, . . . , an) ein n-"upel komplexer Ziihlen. Die Funktion k(s, s ) heil3t der Kern der Integraltransformation. Eine 71 -{&he Integraltransformation fiihrt eine lineare partielle Differentialgleichung iiii Originalraum E direkt in eine algebraische Gleichung im Bildraum F uber (vgl. z. B. [l], [lo]). In vielen FiLllen verallgemeinert man lediglich bekannts einfache Integral-1 tvinsformationen zu mehrfachen (vgl. z. B. [lo]). Oft ist es aber zweckmiiBig, F ( )Kcnannte gemischte Integraltransformationen anzuwenden. Fur die Wahl einer pcigneten Integraltransformation sjnd nitmlich mehrere Gesichtspunkte entcc*lieidend, z. B. : welche Transformation vereinfacht das Problem, oder : welche 'Ihnsformation beriicksichtigt die gegebenen Anfangs-und Randbedingungen? Um allgemein eine Operatorgleichung Lu =f durch eine dem Problem ange-11t~Mte Integraltransformation zu losen, fassen wir die Abbildung T, in ( 1 ) als ein on einem Parameter s= (si, . . . , s, , ) abhitngiges stetiges lineares Funktional uber tloin Originalraum E auf und haben die Darstellung von T, und den Kern k(z, s) ZIJ bestimmen ([6]). Hiernach ist die Integraltransformation T , ein Element des t ol)ologischen Duals E* von E . 1st speziell E ein Hilbertraum H, dann ist T, nach (loin Darstellungssatz von F. RIESZ ein Skalarprodukt, d. h., es gibt ein Element E 3~ -T,{u} = J k ( s , 8) U ( X ) dx 0