Ton ERNST Mom in Bsrlin. (Eingegangen am 31. 1. 1952.) Einleitung und kurzo Inhaltsangabe. I n einer grundlegenden Abhancllung aus dein Jahre 1915 haben BE~~NSTEIN iind DOETSCH~) den folgenden srhiinen Satz aufgestellt u n d hexi. liesen : Eine kowc xe Funktion f ( x ) ist entwecler im lnnern ihres Definitionsinterealls stetig, oder ihre Werte f i i l l m den Raum oberhalb einer stetigen konvexen Punktion b x . den ganzen zum DQfinitionsberkh gehortnden Strcifcn uberall dicht aus. Dahei versteht man unter konvexer Funktion eine endliche Funktion f ( x ) , (lie Iur irgend zwei Stellen x , x f des offenen Definitionsintplv;tIls tler Bedingung geniigt. 132ispiele fur unstetige konvese Funktionen enthalt eine heruhmt gewordene Arheit -on G. HA&iEL3) aus dein Jahre 1905, in wdcher alle unstetigen Lijsungen der Funktionalgleicliung mgegeben werclen; f ( r ) bedeutet eine fiir alle 2 deIinierte endliche Funl-t' I ion. Setzt man in (I ) T'OI'AIIR, tlaB C~RS Deririitiorisintervall die ganze Zalilengerude I ) Die Arbeit bildet in1 nesentliclien den Inhalt eincs Vortrages, den der Verfasser im Rahnien der Schlesischen Gesellschaft fur Vaterlandische Cultur ain 19. 11. 1942 in1 Matheinatischen Seminar der Universitat Breslau gehalten hat. Einen kurzen Bericht gab der Verfasser auf der Tagung der Deutschen Riathematiker-Vereinigung vom 4. bis 10. 9. 1943 in iviirzburg. Uber denselben Gegenstand berichtete der Verfasser erneut in einem Vortrag an der Humboldt-Universitiit zu Berlin am 15. 7. 1946. -Herr Professor Dr. OTTO HAUPT (Erlangen) hatte die Giite, das Manuskript dieser Arbeit kritisch durchzueehen. Dank seinen treffsicheren Bemerkungen konnte ich an vielen Stellen die Darstellung schaIfer und pra- gnanter gestalten. Es sei niir gestattet, Herrn Professor Dr. Haupt fur seine freuiidliche Hilfe auch an dieser Stelle meinen herzlichen Dank auszusprechen. 2, BERNSTEIX und DOETSC'H, Zur Theorie der konvexen Funktionen. Math. Ann. 76, 3, 6. HAMEL, Eine Basis aller Zahlen und die unstetigen Liisungen der Fnnlitionalgleichung: f ( z + y) = (2) + f ( y ) .