Consider the following general type of perturbed stochastic partial differential equations:
with null initial conditions, L a second-order partial differential operator and F a Gaussian noise, white in time and correlated in space. In a previous work we proved the existence of smooth density p ε t,x (y), t > 0, x ∈ R d , for the law of the solution of above-mentioned equation. In this paper we study the logarithmic estimates for this density, that means to establish the behaviour of 2ε 2 log p ε t,x (y), as ε ↓ 0. This kind of estimates is also called Varadhan-Léandre estimates. 2003 Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. All rights reserved.
Résumé
On considère les équations aux dérivées partialles stochastiques perturbées du type suivant
où les conditions initiales sont nulles, L est un operateur aux dérivées partielles de second ordre et F est un processus Gaussien, blanc en temps et corrélé en espace. Dans un article precédént on a montré l'existence d'une densité regulière p ε t,x (y), t > 0, x ∈ R d , pour la solution de l'équation précédente. Ce travail est consacré à étudier le comportement de 2ε 2 log p ε t,x (y), lorsque ε ↓ 0. Ce type d'estimé est connu sous le nom d'estimé de Varadhan-Léandre.