Cover......Page 1
Series: Cambridge Studies in Advanced Mathematics 95......Page 2
An Introduction to Nonlinear Analysis......Page 4
Copyright......Page 5
Contents......Page 8
Preface......Page 14
1.2 A one dimensional problem ......Page 20
1.3 The Hilbert space H ......Page 29
1.4 Fourier series ......Page 36
1.5 Finding a functional ......Page 39
1.6 Finding a minimum, I ......Page 42
1.7 Finding a minimum, II ......Page 47
1.8 A slight improvement ......Page 49
1.9 Finding a minimum, III ......Page 51
1.10 The linear problem ......Page 52
1.11 Nontrivial solutions ......Page 54
1.12 Approximate extrema ......Page 55
1.13 The Palais–Smale condition ......Page 59
1.14 Exercises ......Page 61
2.1 A simple problem ......Page 64
2.2 A critical point ......Page 65
2.3 Finding a Palais–Smale sequence ......Page 66
2.4 Pseudo-gradients ......Page 71
2.5 A sandwich theorem ......Page 74
2.6 A saddle point ......Page 79
2.7 The chain rule ......Page 83
2.8 The Banach fixed point theorem ......Page 84
2.9 Picard’s theorem ......Page 85
2.10 Continuous dependence of solutions ......Page 87
2.11 Continuation of solutions ......Page 88
2.12 Extending solutions ......Page 90
2.13 Resonance ......Page 91
2.14 The question of nontriviality ......Page 94
2.15 The mountain pass method ......Page 95
2.16 Other intervals for asymptotic limits ......Page 98
2.17 Super-linear problems ......Page 101
2.18 A general mountain pass theorem ......Page 102
2.20 Exercises ......Page 104
3.2 The Dirichlet problem ......Page 106
3.3 Mollifiers ......Page 107
3.4 Test functions ......Page 109
3.5 Differentiability ......Page 111
3.6 The functional ......Page 118
3.7 Finding a minimum ......Page 120
3.8 Finding saddle points ......Page 126
3.9 Other intervals ......Page 129
3.10 Super-linear problems ......Page 133
3.11 More mountains ......Page 135
3.12 Satisfying the Palais–Smale condition ......Page 138
3.13 The linear problem ......Page 139
3.14 Exercises ......Page 140
4.2 Saddle points ......Page 142
4.3 Convexity and lower semi-continuity ......Page 144
4.4 Existence of saddle points ......Page 147
4.5 Criteria for convexity ......Page 151
4.6 Partial derivatives ......Page 152
4.7 Nonexpansive operators ......Page 156
4.8 The implicit function theorem ......Page 158
4.9 Exercises ......Page 162
5.2 The force of gravity ......Page 164
5.3 Hamilton’s principle ......Page 167
5.4 The Euler equations ......Page 170
5.5 The Gateaux derivative......Page 174
5.6 Independent variables ......Page 175
5.7 A useful lemma ......Page 177
5.8 Sufficient conditions ......Page 178
5.9 Examples ......Page 184
5.10 Exercises ......Page 186
6.1 The Brouwer degree ......Page 190
6.2 The Hilbert cube ......Page 194
6.3 The sandwich theorem ......Page 202
6.4 Sard’s theorem ......Page 203
6.5 The degree for differentiable functions ......Page 206
6.6 The degree for continuous functions ......Page 212
6.7 The Leray–Schauder degree ......Page 216
6.8 Properties of the Leray–Schauder degree ......Page 219
6.9 Peano’s theorem ......Page 220
6.10 An application ......Page 222
6.11 Exercises ......Page 224
7.1 Constraints ......Page 226
7.2 Lagrange multipliers ......Page 232
7.3 Bang–bang control ......Page 234
7.4 Rocket in orbit ......Page 236
7.5 A generalized derivative ......Page 239
7.6 The definition ......Page 240
7.7 The theorem ......Page 241
7.8 The proof ......Page 245
7.9 Finite subsidiary conditions ......Page 248
7.10 Exercises ......Page 254
8.1 Mini-max ......Page 256
8.2 An application ......Page 259
8.3 Exercises ......Page 262
9.1 The Dancer–Fucik spectrum......Page 264
9.2 An application ......Page 267
9.3 Exercises ......Page 270
10.2 Periodic functions ......Page 272
10.3 The Hilbert spaces H_t......Page 273
10.5 Inequalities ......Page 277
10.6 Linear problems ......Page 281
10.7 Nonlinear problems ......Page 284
10.8 Obtaining a minimum ......Page 290
10.9 Another condition ......Page 293
10.10 Nontrivial solutions ......Page 296
10.12 The next eigenvalue ......Page 297
10.13 A Lipschitz condition ......Page 301
10.14 Splitting subspaces ......Page 302
10.15 The question of nontriviality ......Page 304
10.16 The mountains revisited ......Page 306
10.17 Other intervals between eigenvalues ......Page 308
10.18 An example ......Page 312
10.19 Satisfying the PS condition ......Page 313
10.21 Sobolev’s inequalities ......Page 316
10.22 The case q = \infty......Page 322
10.23 Sobolev spaces ......Page 324
10.24 Exercises ......Page 327
A.1 Some basic definitions ......Page 332
A.3 Hilbert spaces ......Page 333
A.4 Bounded linear functionals ......Page 335
A.5 The dual space ......Page 336
A.6 Operators ......Page 338
A.7 Adjoints ......Page 340
A.8 Closed operators ......Page 341
A.9 Self-adjoint operators ......Page 342
A.10 Subsets ......Page 344
A.11 Finite dimensional subspaces ......Page 345
A.12 Weak convergence ......Page 346
A.13 Reflexive spaces ......Page 347
A.14 Operators with closed ranges ......Page 348
B.2 Step functions ......Page 350
B.3 Integrable functions ......Page 351
B.5 The spaces L^p......Page 354
B.6 Measurable sets ......Page 355
B.7 Carath´eodory functions ......Page 357
C.1 Properties ......Page 360
C.2 Para-compact spaces ......Page 362
D.1 The benefits ......Page 364
D.2 The construction ......Page 365
Bibliography ......Page 372
Index ......Page 374