We give an asymptotic expansion for the distribution of the maximum of a class of Gaussian fields. Our method is based on the number of local maxima of a field above a level. © Academic des ScienceslElsevier, Paris
Un. deoeloppement asymptotique pour la distribution du maximum d'une classe de champs gaussiens
Resume. Nous donnons un developpement asymptotiqu e pour la distribution du maximum d'une classe de champs gaussiens. Notre methode est basee sur Ie nombre de maxima locaux d 'un champ au-dessus d 'un niveau. © Academic des ScienceslElsevier, Paris Version irenceise abregee Soit X = {X(t) : t ESC IR N } un champ gaussien, centre, a parametre N-dimensionnel et a valeurs reelles ; ou S est un compact de R N . Posons M(S) = max{ X(t) : t E S}. De nombreux problemes statistiques conduisent au caleul de la fonction :
On ne connait I'expression exacte de G(u ) que pour un nombre tres reduit de processus gaussiens (voir introduction de (4]). Dans tous les autres cas on ne sait obtenir que des resultats approches de G(u), c'est-a-dire des bornes superieures ou inferieures ou des approximations asymptotiques quand u -+ +00. Adler [I] donne un terme d 'approximation a G(u) quand u -+ +00 pour des champ s gaussiens stationnaires. Mais ce premier terme d'approximation est souvent tres irnprecis (notamment quand N est grand) et d'autres termes sont necessaires si I'on veut obtenir suffisamment de precision. Sun (10] s'appuie sur des elements de geometric differentielle pour donner deux termes d'approximation a G(u ) quand u -+ +00 pour une classe de champs gaussiens a variance constante Note presentee par Jean-Pierre KAHANE. 0764 •4442198/03270393 © Academic des ScienceslElsevier. Paris 393 C. Delmas et « periodiques » (dans Ie sens ou ils admettent un developpement de Karhunen-Loeve qui engendre une variete sans bord).
Dans cette Note nous ameliorons la precision de l'approximation de G(u). Nous donnons un developpement asymptotique precis de G(u), forme de [N/2] + 1 termes ([N/2] designe la partie entiere de N /2), au lieu de deux uniquement dans la methode de Sun, et ceci pour une classe analogue de champs gaussiens a variance constante et « periodiques ». Plus precisement, nous montrons que si Ie champ gaussien X, de variance constante (72 sur S, est suffisamment regulier, a trajectoires 00 p.s. de classe C 2 , si son developpement de Karhunen-Loeve X (t) = L II(t)6 (OU les ~I sont des /=1 v.a. i.i.d. N(O,l)) est tel que F = {f(t) : t E S} est une variete differentielle sans bord, alors P[M(S) ~u] s'ecrit :
P[M(S) " u] ~l~l k'j'!'2,(U) + 0 (e~~). Vn > O.
Les expressions de k 21 et W2j(U) sont donnees dans la proposition 3 de la section 2. Notre methode est basee sur Ie nombre de maxima locaux d'un champ au-dessus d'un niveau.