et k be an algebraically closed field of characteristic zero, g a finite-dimen-Ž . sional Lie algebra over k, U g the enveloping algebra of g, R a Noetherian Ž . k-algebra on which g acts by derivations via a Lie algebra morphism, and R࠻U g Ž . the differential operator rings generated by R and U g . This paper is concerned Ž . with the homological algebra for R࠻U g -modules which are g-locally finite, especially with injective and projective modules, minimal injective resolutions, and cohomology. Soient k un corps algebriquement clos de caracteristique nulle, g une k-algebre ´´Ž . de Lie de dimension finie, U g l'algebre enveloppante de g, R une k-algebre ǹoetherienne sur laquelle g opere par derivations via un morphisme d'algebres de ´´Ž . Ž . Lie et R࠻U g le produit croise de R par U g . Ce papier traite de l'algebre ´Ž . homologique dans la categorie des R࠻U g -modules g-localement finis, plus ṕarticulierement des modules injectifs et projectifs, des resolutions injectives ḿinimales et de la cohomologie. ᮊ 1997 Academic Press 0. INTRODUCTION Soient k un corps commutatif de caracteristique nulle, g une k-algebre ´Ž . de Lie de dimension finie, U g l'algebre enveloppante de g, R une k-algebre associative unitaire noetherienne a droite et a gauche sur ´l aquelle g opere par derivations via un morphisme d'algebres de Lie ␦ et ´Ž . Ž . R࠻U g l'anneau d'operateurs differentiels engendre par R et U g . Tous ´´ĺ es modules consideres dans ce travail sont des modules a gauche. ´´`Ž . Soit M un g-module. Un element m de M est dit g-fini si dim U g m ´´k -qϱ. Si tous les elements de M sont g-finis, on dit que M est g-locale-´ḿent fini. On note Mod la categorie des R-modules, Mod la categorie des ´Ŕ g g -modules, Mod la sous-categorie de Mod dont les objets sont g-locale-Ž g . g 584