AFFINE EBENEN MIT ORTHOGONALITdTSRELATION von HORST STRUVE in Koln (BRD) Einleitung Unter einer affinen Ebene d mit Orthogonalitiitsrelation verstehen wir eine affine Ebene, in der das Fano-Axiom und der kleine Satz von DESARGUES gelten und in der eine Orthogonalitiitsrelation gegeben ist, die folgende Axiome erfiillt : I ) (01) (02) (03) (04) Aus g I h folgt h I 9. 1st g I h und sind h und h' parallel, so ist auch g I h'. Zu jeder Geraden g gibt es (mindestens) eine Gerade h mit g I h. Durch einen Punkt gehen hochstens zwei verschiedene isotrope Geraden. Wir untersuchen in dieser Arbeit das Problem, wann der Koordinatenbereich einer affinen Ebene mit Orthogonalitiitsrelation ein Korper ist, d. h. wann die Ebene pappussch ist. Aufgrund des zweiten und vierten Orthogonalitiitsaxioms gehen durch jeden Punkt von d gleich viele isotrope Geraden, namlich 0, 1 oder 2. Es gibt deshalb drei Klassen von affinen Ebenen mit Orthogonalitatsrelation. Beispiele fur Ebenen aus diesen drei Klassen sind die in Abschnitt 1 konstruierten euklidischen, Galileischen und Minkowskischen Ebenen.z) Sie stehen in engem Zusammenhang mit Mobius-, Laguerreund Minkowski-Ebenen3). Spiegelt man namlich in einer euklidischen Ebene einen Punkt A an allen Geraden durch einen von A vcrschiedenen Punkt, SO erhalt man einen ,,Kreis". Diese ,,K.reise'' bilden zusammen mit den Geraden die Kreise einer Mobius-Ebene. Die Punkte einer Geraden g erhalt man, indem man einen Punkt auf 9 an allen Senkrechten zu g spiegelt. Deshalb lassen sich in einer euklidischen Ebene mit Hilfe der Menge U aller Geradenspiegelungen Kreise folgendermakn definieren : (*I Diese Konstruktion (*) lafit sich auch in Galileischen und Minkowskischen Ebenen durchfiihren, wenn man U als die Menge der Spiegelungen an isotropen bzw. nichtisotropen Geraden definiert und verlangt, da13 A"] und A"2 eine nicht-isotrope Verbindungsgerade besitzen. 1st Kdie Menge aller Kreise, P die Menge aller Punkte von d , so ist (K, P, E) eine Laguerre-bzw. Minkowski-Ebene. Die Konstruktion (*) kann man in jeder affinen Ebene d mit Orthogonalitltsrelation durchfiihren. Die so konstruierte ,,Kreisebene" sei ebenfalls rnit (K, P, E) ) Ceradcn wcrden mit kleinen lateinisrhen Buchst.tben bezeivhnet, Punkte rnit groRen lateinischen Buchstaben. Sind g und h zoeinander senkrechte Qeraden, so schrciben wir g 1 h . Eine Gerade heiBt isotrop, wenn sic zu sich selbst fienkrpcht ist.