ADDITIVE TRANSFORMATIONEN KONVEXER KORPER In der Theorie der konvexen K~Srper spielt die Minkowskische Addition eine bedeutende Rolle. Ein Studium der mit der Addition vertr~iglichen Abbildungen der Menge der konvexen K~Srper in sich diirfte daher von Interesse sein. Es bezeichne R" die Menge der konvexen K~Srper (nichtleere, kompakte, konvexe Teilmengen) des n-dimensionalen euklidischen Vektorraumes Rn(n >>. 2). Die Minkowskische Addition ist erkl~irt durch Kl + g2= {xl + x2lx,~K,,i= l, 2} ffir K1, Kz~R". Eine Abbildung T:R"~ R" mit T(KI+Kz)=TKI+TKz ffir aUe KI, K2eR" heiBe additive Transformation von R". Die additiven Transformationen von R" sind von kaum zu fiberschauender Vielfalt. Selbst die in [4] und [5] untersuchten Abbildungen dieser Art, die zus~tzlich stetig (bezfiglich der Hausdorff-Metrik) und bewegungs~iquivariant sind, sind noch so mannigfach, dab erst durch weitere Bedingungen geometrisch einfach zu beschreibende Abbildungen ausgesondert werden k6nnen. Die Forderung der Bewegungs-~iquivarianz, so geometrisch plausibel sie auch ist, schlieBt von vornherein eine Klasse besonders naheliegender additiver Transformationen aus, namlich die durch Affinit~iten oder (auBer ffir n = 2) durch Bewegungen des ~" induzierten. Im folgenden verzichten wir daher auf eine ~quivarianzforderung; wir bestimmen hingegen alle additiven Transformationen von R", die das Volumen der K~Srper unge~indert lassen. Das Volumen sei mit V bezeichnet. Ist ~:R"~R" eine Abbildung und M=Rn, so schreiben wir {o~X I x~M}=oeM. SATZ. SeiT eine additive Transformation yon Rn mit V (TK)= V(K) fiir alle K eR". Dann gibt es eine volumentreue Affinitat ~: R"~ R" derart, daft fiir jeden K6rper K e ~" das Bild TK ein Translat yon ~K ist. Die SchluBfolgerung des Satzes sagt lediglich aus, dab TK ein Translat von ~K ist; es gibt also eine Abbildung t : R" -~ R" mit TK= ~K+ t (K). Die Abbildung T ist also noch nicht vollst/indig beschrieben, solange t nicht bekannt ist, aber eine weitergehende Bestimmung (die vielleicht gar nicht so von Interesse ist) dfirfte schwierig sein. Die einzige Information fiber t ergibt sich aus der Additivit/it von T: Es ist t (K1 +K2)=t (K1)+t (K2) ffir K1, K2 e R". Diese Eigenschaft ist aber wohl zu schwach, um eine explizite Beschreibung des Translationsvektors t zu ermSglichen.