We present a proof of Siegel's theorem on integral points on affine curves, through the Schmidt subspace theorem, rather than Roth's theorem. This approach allows one to work only on curves, avoiding the embedding into Jacobians and the subsequent use of tools from the arithmetic of Abelian varieties. To cite this article: P. Corvaja, U. Zannier, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 334 (2002) 267-271. 2002 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS
Points entiers sur les courbes et théorème des sous-espaces Résumé Nous donnons une nouvelle démonstration du théorème de Siegel sur les points entiers des courbes, qui repose sur le théorème des sous-espaces de Schmidt. Notre méthode n'utilise pas le plongement d'une courbe dans sa jacobienne, évitant ainsi l'utilisation de résultats sur l'arithmétique des variétés abéliennes. Pour citer cet article : P. Corvaja, U. Zannier, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 334 (2002) 267-271. 2002 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS
Version française abrégée
Soit C une courbe algébrique projective, absolument irréductible, définie sur un corps de nombres k. Soit C un ouvert affine non vide de C, plongé dans un espace affine A m . Soit O l'anneau des entiers de k. Le célèbre théorème de Siegel s'énonce alors :
La démonstration de Siegel [10] commence par plonger la courbe C dans sa jacobienne (dans le cas de genre non nul) ; après quoi les principaux ingrédients de la preuve sont : l'approximation diophantienne, le théorème de Mordell-Weil faible et le comportement quadratique de la hauteur sur les variétés abéliennes. Dans les démonstrations modernes, l'outil d'approximation diophantienne employé est le théorème de Roth, qui permet de simplifier la preuve originelle de Siegel. Après les travaux fondamentaux de W. Schmidt [7,8], on dispose d'une généralisation en dimension supérieure du théorème de Roth, à savoir le théorème des