In [J. Differential Equations 146 (2) (1998) 320-335], Françoise gives an algorithm for calculating the first nonvanishing Melnikov function M of a small polynomial perturbation of a Hamiltonian vector field and shows that M is given by an Abelian integral. This is done under the condition that vanishing of an Abelian integral of any polynomial form ω on the family of cycles implies that the form is algebraically relatively exact.
We study here a simple example where Françoise's condition is not verified. We generalize Françoise's algorithm to this case and we show that M belongs to the C[log t, t, 1/t] module above the Abelian integrals.
We also establish the linear differential system verified by these Melnikov functions M (t). 2002 Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. All rights reserved. Résumé Dans [J. Differential Equations 146 (2) (1998) 320-335], Françoise construit un algorithme qui permet de calculer la première fonction de Melnikov M non nulle pour une petite perturbation polynômiale d'un champ de vecteurs hamiltonien, et montre que M est une intégrale abélienne. Il le fait sous la condition qu'une forme polynômiale est algébriquement relativement exacte si son intégrale sur la famille de cycles est nulle. Nous étudions un exemple simple où la condition de Françoise n'est pas vérifiée. Nous généralisons à ce cas l'algorithme de Françoise et nous montrons que M appartient au C[log t, t, 1/t] module engendré par les intégrales abéliennes. Nous établissons le système différentiel linéaire vérifié par ces fonctions de Melnikov. 2002 Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. Tous droits réservés.